Question

【題目】將集合中的元素作全排列，使得除了最左端的一個(gè)數(shù)之外，對(duì)于其余的每個(gè)數(shù)，在的左邊某個(gè)位置上總有一個(gè)數(shù)與之差的絕對(duì)值為1.則滿足條件的排列個(gè)數(shù)為____________.

Answer 1

【答案】128

【解析】

設(shè)對(duì)于合適條件的某一排列，排在左邊的第一個(gè)元素為.則在其余七個(gè)數(shù)中，大于的個(gè)數(shù)必定按遞增的順序排列；而小于的個(gè)數(shù)必定按遞降的順序排列（位置不一定相鄰）.

事實(shí)上，對(duì)任意大于的數(shù)，設(shè).

若排在的左邊，則與相差1的另一數(shù)就必須排在的左邊；同理，與相差1的另一數(shù)又必須排在的左邊；……則該排列的第二個(gè)數(shù)不可能與相差1，矛盾.

因此，必定排在 的右邊.

同理，小于的個(gè)數(shù)必定按遞降的順序排列.

由于當(dāng)排在左邊的第一個(gè)元素確定后，右邊還有七個(gè)空位，從中任選個(gè)位置填寫大于的數(shù)（其余各位置則填寫小于的數(shù)），選法種數(shù)為；而當(dāng)位置選定后，填數(shù)方法隨之唯一確定.

因此，所有排法種數(shù)為.