Question

求證：對于大于1的任意自然數(shù)n，都有1+

1

2

+

1

3

+…

1

n

＞

n

．

Answer 1

分析：直接利用數(shù)學歸納法的證明步驟，驗證n=2時不等式成立，然后假設n=k時不等式成立，證明n=k+1時不等式也成立即可．

解答：證明：（1）當n=2時，左邊=1+

1

2

=1+

2

2

＞

2

顯然成立．（2分）
（2）假設n=k（k≥2且K∈N時，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＞

k

成立 （4分）
則當n=k+1時，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞

k

+

1

k+1

． （5分）
又因為

k

+

1

k+1

-

k+1

=

k

+

1-(k+1)

k+1

=

k(k+1) -k

k+1

=

k2+k - k2

k+1

＞0，
所以

k

+

1

k+1

＞

k+1

，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＞

k+1

，
當n=k+1時，不等式也成立．（11分）
由（1）（2）可知對于大于1的任意自然數(shù)n，都有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＞

n

．     （12分）

點評：本題考查數(shù)學歸納法證明不等式的證明步驟，注意n=k+1時必須用上假設，考查邏輯推理能力．