Question

觀察下列等式（x²+x+1）⁰=1，（x²+x+1）¹=x²+x+1，（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，（x²+x+1）³=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1…
可以推測（x²+x+1）⁵展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為

3⁵

．第四、五、六項(xiàng)系數(shù)的和是

136

．

Answer 1

分析：觀察所給的等式，分析可得（x²+x+1）ⁿ中，各項(xiàng)系數(shù)的和為3ⁿ，則（x²+x+1）⁵展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為3⁵，進(jìn)而分析可得，在（x²+x+1）⁵展開式中，按x的降次排列，共11項(xiàng)，展開式的第四項(xiàng)是含x⁷的項(xiàng)；其構(gòu)成是5個(gè)（x²+x+1）中3個(gè)出x²，1個(gè)出x，1個(gè)出1；或2個(gè)出x²，3個(gè)出x，由組合數(shù)公式可得其系數(shù)，同理可得第五、六項(xiàng)系數(shù)，相加可得答案．

解答：解：觀察所給的等式
（x²+x+1）⁰=1中，各項(xiàng)系數(shù)的和為1=3⁰，
（x²+x+1）¹=x²+x+1中，各項(xiàng)系數(shù)的和為3=3¹，
（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1中，各項(xiàng)系數(shù)的和為9=3²，
…
可以推測（x²+x+1）⁵展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為3⁵，
在（x²+x+1）⁵展開式中，按x的降次排列，共11項(xiàng)，
則展開式的第四項(xiàng)是含x⁷的項(xiàng)；其構(gòu)成是5個(gè)（x²+x+1）中3個(gè)出x²，1個(gè)出x，1個(gè)出1；或2個(gè)出x²，3個(gè)多項(xiàng)式出x，其系數(shù)為C₅³C₃¹+C₅²=40，
展開式的第五項(xiàng)是含x⁶的項(xiàng)；其構(gòu)成是5個(gè)多項(xiàng)式3個(gè)出x²，其它都出1；5個(gè)多項(xiàng)式2個(gè)出x²，2個(gè)出x，其它出1；
5個(gè)多項(xiàng)式1個(gè)出x²，4個(gè)出x，其系數(shù)為C₅³+C₅²C₃²+C₅¹=45，
同理：展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)為C₅²C₃¹+C₅¹C₄³+1=51；
則第四、五、六項(xiàng)系數(shù)的和是40+45+51=136．
故答案為3⁵，136．

點(diǎn)評：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用以及歸納推理，解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)所給等式的系數(shù)變化的規(guī)律．