Question

【題目】已知和定點，由外一點向引切線，切點為，且滿足.（1）求實數間滿足的等量關系；

（2）求線段長的最小值；

（3）若以為圓心所作的與有公共點，試求半徑取最小值時的方程.

Answer 1

【答案】（1）.（2）.（3）.

【解析】試題分析：（1）連，由勾股定理可得，化簡可得實數間滿足的等量關系；（2）由于，根據間的等量關系及二次函數的性質即可求出線段長的最小值；（3）解法一：設的半徑為，根據題設條件可得，利用二次函數的性質求得的最小值，此時，求得， 取得最小值，從而得到圓的方程；解法二：根據的軌跡設出直線，由與有公共點，欲求半徑最小，即為與外切時半徑最小，然后可求出半徑最小值及垂直直線的方程，即可求出此時圓心的坐標，故而求出方程.

試題解析：（1）連

∵為切點， ，由勾股定理有

又由已知，故.即： .

化簡得實數間滿足的等量關系為： .

（2）由，得.

.

故當時， ，即線段長的最小值為.

（3）解法一：設的半徑為

∵與有公共點， 的半徑為1，

∴.即且.

而，

故當時， .此時， ， .

得半徑取最小值時的方程為.

解法二：由題意可得的軌跡方程是，設為直線

與有公共點， 半徑最小時為與外切（取小者）的情形，而這些半徑的最小值為圓心到直線的距離減去1，圓心為過原點與垂直的直線與的交點.

.

又，

解方程組，得，即.

∴所求圓方程為.