Question

已知命題p：?x∈[1，12]，x²-a≥0．命題q：?x₀∈R，使得x+（a-1）x₀+1＜0．
（1）若p或q為真，p且q為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）實(shí)數(shù)m分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z=m+1+（m-1）i是 ①實(shí)數(shù)？②虛數(shù)？③純虛數(shù)？

Answer 1

解：（1）∵?x∈[1，12]，x²-a≥0恒成立，即a≤x²恒成立，
∴a≤1．即p：a≤1，∴p：a＞1．…（3分）
又?x₀∈R，使得x+（a-1）x₀+1＜0．
∴△=（a-1）²-4＞0，∴a＞3或a＜-1，…（6分）
即q：a＞3或a＜-1，∴q：-1≤a≤3．
又p或q為真，p且q為假，∴p真q假或p假q真． …（8分）
當(dāng)p真q假時(shí)，{a|a≤1}∩{a|-1≤a≤3}={a|-1≤a≤1}．…（10分）
當(dāng)p假q真時(shí)，{a|a＞1}∩{a|a＜-1或a＞3}={a|a＞3}． …（12分）
綜上所述，a的取值范圍為{a|-1≤a≤1}∪{a|a＞3}． …（14分）
（2）①由m-1=0，得：m=1時(shí)，z為實(shí)數(shù)．
②由m-1≠0，得：m≠1時(shí)，z為虛數(shù)．
③由m-1≠0，m+1=0，得：m=-1時(shí)，z為純虛數(shù)．
分析：（1）根據(jù)題意得命題p、q有且僅有一個(gè)為真命題，分別討論“p真q假”與“p假q真”即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）①按照復(fù)數(shù)的虛部為0，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)解答；②復(fù)數(shù)的虛部不為0即可解答；③復(fù)數(shù)的實(shí)部為0且虛部不為0，即可解答．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題，解題時(shí)注意分類討論思想的應(yīng)用．