Question

已知圓C經(jīng)過點(diǎn)，且圓心在直線上，且，又直線與圓Ｃ相交于、兩點(diǎn).

（I）求圓Ｃ的方程；

（II）若，求實(shí)數(shù)的值；

（III）過點(diǎn)作直線與垂直，且直線與圓Ｃ交于兩點(diǎn),求四邊形面積的最大值.

Answer 1

（1）（2） （3）

解析:

(I)設(shè)圓心半徑為. 因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)        

所以，解得 ，              …………………2分

      所以圓的方程是 .                      …………………4分

     (II)方法一：

因?yàn)?img width=229 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/169/4569.gif">,               …………………6分

      所以, ,                …………………7分

所以圓心到直線的距離,           …………………8分

      又，所以.                         …………………9分

     方法二：設(shè),

因?yàn)?img width=83 height=51 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/177/4577.gif">，代入消元得.   …………………6分

由題意得：                …………………7分

因?yàn)?img width=57 height=25 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/180/4580.gif">=，                    

       又,

所以,  =,     …………………8分

化簡(jiǎn)得: ，

所以 即.                               …………………9分

(III)方法一：

設(shè)圓心到直線的距離分別為，四邊形的面積為.        

因?yàn)橹本�都經(jīng)過點(diǎn)，且，

根據(jù)勾股定理，有,                       …………………10分

又根據(jù)垂徑定理和勾股定理得到，,

                                                    ………………11分

而，即

…………13分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.      ………………14分

方法二：設(shè)四邊形的面積為.

當(dāng)直線的斜率時(shí)，則的斜率不存在，

此時(shí).                            …………………10分

當(dāng)直線的斜率時(shí)，

設(shè)

則  ，代入消元得

所以

同理得到.

                                                  ………………11分

         ………………12分

因?yàn)?img width=197 height=47 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/19/4619.gif">，

所以 ,                      ………………13分

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立,所以的最大值為.           ………………14分