Question

（本小題滿分12分）
設(shè)點(diǎn)M、N分別是不等邊△ABC的重心與外心，已知、，且.
（1）求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E；
（2）若直線與曲線E交于不同的兩點(diǎn)P、Q，且滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

Answer 1

解：（１）設(shè)點(diǎn)，則△ABC的重心，∵△ABC是不等邊三角形，∴
再設(shè)△ABC的外心. ∵已知，∴MN∥AB，∴.  …………2分
∵點(diǎn)N是△ABC的外心，∴，即
化簡(jiǎn)整理得軌跡E的方程是                    …………4分
∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E是指焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)位置的一個(gè)橢圓（去掉其頂點(diǎn)）  …………5分
（2）（理科）將直線方程代入軌跡E的方程，并化簡(jiǎn)，
得                       …………6分
依題意，知，，且，
化簡(jiǎn)，得，，且                         …………7分
設(shè)、，∵，∴，即
        …………8分
又∵，，∴，
化簡(jiǎn)得                                        …………10分
∴，，，，
解得實(shí)數(shù)的取值范圍是或且.          …………12分

略