Question

【題目】為了讓觀賞游玩更便捷舒適，常州恐龍園推出了代步工具租用服務.已知有腳踏自行車與電動自行車兩種車型，采用分段計費的方式租用.型車每分鐘收費元（不足分鐘的部分按分鐘計算），型車每分鐘收費元（不足分鐘的部分按分鐘計算），現(xiàn)有甲乙丙丁四人，分別相互獨立地到租車點租車騎行（各租一車一次），設甲乙丙丁不超過分鐘還車的概率分別為，并且四個人每人租車都不會超過分鐘，甲乙丙均租用型車，丁租用型車．

（1）求甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元的概率；

（2）求甲乙丙三人所付的費用之和等于丁所付的費用的概率；

（3）設甲乙丙丁四人所付費用之和為隨機變量，求的概率分布和數(shù)學期望．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）.

【解析】

（1）“甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元”， 即4人均不超過30分鐘。

（2）即丁付20元，甲乙丙三人中有且只有一人付10 ，其余2人付5，分3種情況。用相互獨立事件同時發(fā)生概率公式與互斥事件的和事件概率公式可求解。（3）根據(jù)分類可知隨機變量的所有取值為25，30，35，40，45，50,求出概率及期望。

（1）記“甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元”為事件，即4人均不超過30分鐘，

則 .

答：求甲乙丙丁四人所付的費用之和為25元的概率是

（2）由題意，甲乙丙丁在分鐘以上且不超過分鐘還車的概率分別為，

設“甲乙丙三人所付費用之和等于丁所付費用”為事件，

則

答：甲乙丙三人所付的費用之和等于丁所付的費用的概率是．

（3）①若“4人均不超過30分鐘”此時隨機變量的值為25，即為事件，由（1）所以.

②記“4人中僅有一人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的這一人是甲乙丙中的一個”和“超過30分鐘的這一人是丁”，分別將上述兩種情況記為

事件和.

i.事件對應的的值為30，此時；

ii.事件對應的的值為35，此時.

③記“4人中僅有兩人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的兩人是甲乙丙中的兩個”和“超過30分鐘的兩人是甲乙丙中的一個和丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.

i.事件對應的的值為35，此時；

i.事件對應的的值為40，此時

④記“4人中僅有三人超過30分鐘”為事件，事件又分成兩種情況“超過30分鐘的三人是甲乙丙”和“超過30分鐘的三人是甲乙丙中的兩個和丁”，分別將上述兩種情況記為事件和.

i.事件對應的的值為40，此時；

i.事件對應的的值為45，此時 .

⑤記“4人均超過30分鐘”為事件，則隨機變量的值為50，

此時 ；

綜上：隨機變量的所有取值為25，30，35，40，45，50，且

；；

；

；

；；

所以甲乙丙丁四人所付費用之和的分別為

	25	30	35	40	45	50

所以 .

答：甲乙丙丁四人所付費用之和的數(shù)學期望為.