Question

已知函數(shù)f（x）=x^k+b（常數(shù)k，b∈R）的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2）、（16，4）兩點(diǎn)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）的圖象與函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，若不等式g（x）+g（x-2）＞2ax+2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是函數(shù)f（x）圖象上的點(diǎn)列，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n，…是x正半軸上的點(diǎn)列，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n，…是一系列正三角形，記它們的邊長(zhǎng)是a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，探求數(shù)列a_n的通項(xiàng)公式，并說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）

2=4k+b 4=16k+b

?b=0，k=

1

2

?f(x)=

x

（2）g（x）=x²（x≥0）
g（x）+g（x-2）＞2ax+2
?

x-2≥0 x2+(x-2)2＞2ax+2

原問(wèn)題等價(jià)于a＜x+

1

x

-2在x∈[2，+∞）恒成立，
利用函數(shù)y=x+

1

x

-2在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，
可得a＜

1

2

；
（3）由

y= x y= 3 x

?x=

1

3

?a1=

2

3

，
由

y= x y= 3 (x-Sn-1)

?

3

x-

x

-

3

Sn-1=0?x=

1+6Sn-1+ 1+12Sn-1

6

，
將x代入an=2(x-Sn-1)=

1

3

+

1

3

1+12Sn-1

，
∴(an-

1

3

)2=

1

9

•(1+12Sn-1)且a1=

2

3

，
又(an+1-

1

3

)2=

1

9

•(1+12Sn)，
兩式相減可得：(an+1-

1

3

)2-(an-

1

3

)2=

4

3

an?(an+1-

1

3

)2=(an+

1

3

)2?(an+1+an)(an+1-an-

2

3

)=0，
又，因?yàn)閍_n＞0，所以an+1-an-

2

3

=0，
從而a_n是以

2

3

為首項(xiàng)，

2

3

為公差的等差數(shù)列，即an=

2n

3

．