Question

設(shè)一元二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0(n∈N₊)有兩根α、β，且滿足6α-2αβ+6β=3.

(1)試用a_n表示a_n+1;

(2)求證：{a_n-}是等比數(shù)列；

（3）當(dāng)a₁=時(shí)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式.

Answer 1

(1)解：根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系，有關(guān)系式

代入題設(shè)條件6（α+β）-2αβ=3,

得=3,∴a_n+1=a_n+.

(2)證明：由于a_n+1=a_n+,這是數(shù)列{a_n}中相鄰兩項(xiàng)之間的遞推公式.現(xiàn)把這一遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的形式.

∵a_n+1=a_n+,

∴a_n+1-=,故數(shù)列{a_n-}是公比為12的等比數(shù)列.

(3)解：當(dāng)a₁=，a₁-=.

∴a_n-=(a₁-)×()^n-1=()ⁿ.

∴a_n=23+12ⁿ,n∈N₊.