Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），令φ（x）=f′（x）．
（1）設(shè)g（x）=f（x+a）+φ（x+a），求函數(shù)g（x）的極值；
（2）設(shè)
（i）求證：；
（ii）是否存在正整數(shù)n，使得當(dāng)n＞n時(shí)，都有成立？若存在，求出一個(gè)滿足條件的
n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求g（x）的導(dǎo)函數(shù)，再確定其單調(diào)性，從而確定函數(shù)的極值；
（2）（i）先證明，再進(jìn)行累加可證；（ii）又，由（i）知，從而可以得n＞2010時(shí)，有，進(jìn)一步有，從而可證．
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123239402493897/SYS201310251232394024938020_DA/6.png">，∴x∈（-a，1-a]時(shí)，函數(shù)g（x）為減函數(shù)，當(dāng)x∈[1-a，+∞），函數(shù)g（x）為增函數(shù)，所以當(dāng)x=1-a時(shí)，函數(shù)g（x）取得極小值g（1-a）=1，沒有極大值；
（2）∵
（i）取a=1，由（1）知，當(dāng)x＞0時(shí)有g(shù)（x）＞g（0）=1，即，∴，即
令，即，∴
分別取k=1，2，，n并累加得，∴
（ii）又，∴
由（i）知，即
當(dāng)，即n＞2010時(shí)，有
令，∴
∴p（x）在[0，1）上為增函數(shù)，∴p（x）＞p（0），∴，∴
∴
分別取k=1，2，，n并累加得
綜上所述，存在正整數(shù)n=2010，使得當(dāng)n＞n時(shí)，都有成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查不等式的證明，難度較大，有一定的技巧．