Question

設函數(shù)f（x）=2lnx-x²．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設a∈R，討論關于x的方程f（x）+2x²-5x-a=0的解的個數(shù)．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，求出導函數(shù)，令導函數(shù)大于0，求出x的范圍即為單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）將方程中的a分離出來，構(gòu)造新函數(shù)g（x），求出g′（x），列出x，g′（x），g（x）d的變化情況表，求出g（x）的極值，對a討論，判斷出方程解的個數(shù)．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
∵f′（x）=2（

1

x

-x）=

2(1+x)(1-x)

x

．
∵x＞0，則使f′（x）＞0的x的取值范圍為（0，1），
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）．
（2）∵f（x）=2lnx-x²．
∴f（x）+2x²-5x-a=0?a=2lnx+x²-5x．
令g（x）=2lnx+x²-5x，
∴g′（x）=

2

x

+2x-5=

(2x-1)(x-2)

x

．∵x＞0
∴g（x）在（0，

1

2

），（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（

1

2

，2）上單調(diào)遞減．
∵g（

1

2

）=-2ln2-

9

4

，g（2）=2ln2-6，
∴x∈（0，

1

2

）時，g（x）∈（-∞，-2ln2-

9

4

）；
x∈（

1

2

，2）時，g（x）∈（2ln2-6，-2ln2-

9

4

）；x∈（2，+∞）時，g（x）∈（2ln2-6，+∞）．
∴當a∈（-2ln2-

9

4

，+∞）∪（-∞，2ln2-6）時，方程有一解；
當a=-2ln2-

9

4

或a=2ln2-6時，方程有兩解；
當a∈（2ln2-6，-2ln2-

9

4

）時，方程有三解．

點評：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，注意要先求出函數(shù)的定義域，因為單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；判斷方程的根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極值去解．