Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn)，平面，垂足是線段上的靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).已知

（1）證明：；

（2）若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且平面平面.試求的值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】

（1）利用已知條件證明面，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可得到證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面平面的法向量，由平面平面可知法向量也是互相垂直的，由數(shù)量積為0即可得到答案.

解：（1）∵，是的中點(diǎn)，∴，

面，

∴，

∴面，面，∴

(2)過(guò)點(diǎn)O作ON//BC交AB于點(diǎn)N，由已知可得ON，以O(shè)N,OD,OP所在直線為x軸和y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則.

設(shè)，∴，

設(shè)面的法向量，∵點(diǎn)在面上所以

，即得

∴

設(shè)面法向量為，

，∴

兩個(gè)面垂直，所以他們的法向量也是互相垂直的，

解得；