Question

若關(guān)于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0對(duì)任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，則實(shí)常數(shù)λ的取值范圍是

（-∞，-1]

．

Answer 1

分析：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得當(dāng)n∈N^*時(shí)，(

1

2

)n的最大值為

1

2

，則可將問題轉(zhuǎn)化為x2+

1

2

x-

1

2

≥0在x∈（-∞，λ]上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得實(shí)常數(shù)λ的取值范圍．

解答：解：當(dāng)n∈N^*時(shí)，(

1

2

)n的最大值為

1

2

則關(guān)于x的不等式x2+

1

2

x-(

1

2

)n≥0對(duì)任意n∈N^*在x∈（-∞，λ]上恒成立，
即x2+

1

2

x-

1

2

≥0在x∈（-∞，λ]上恒成立，
∵f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

的圖象是開口朝上，且以x=-

1

4

為對(duì)稱軸的拋物線
則當(dāng)λ≤-

1

4

時(shí)，f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

在（-∞，λ]上單調(diào)遞減，
若f（x）≥0，即f（λ）≥0，解得λ≤-1
當(dāng)λ＞-

1

4

時(shí)，f（x）=x2+

1

2

x-

1

2

在（-∞，-

1

4

]上單調(diào)遞減，[-

1

4

，λ]單調(diào)遞增
若f（x）≥0，即f（-

1

4

）≥0，此時(shí)不滿足條件
綜上λ≤-1
即常數(shù)λ的取值范圍是（-∞，-1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，其中熟練掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．