【題目】已知函數(shù)
的最大值為
， 
的圖像關(guān)于
軸對稱.
（1）求實數(shù)
， 
的值.
（2）設(shè)
，則是否存在區(qū)間
，使得函數(shù)
在區(qū)間
上的值域為
？若存在，求實數(shù)
的取值范圍；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
， 
.（2）見解析.
【解析】【試題分析】(1)對
求導(dǎo),利用它的單調(diào)性求得當
時函數(shù)取得最大值,解方程求得
.根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸可求得
.(2)由(1)知
,利用
的二階導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增,故有
, 問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于
的方程
在區(qū)間
內(nèi)是否存在兩個不相等的實根來求解.利用分離常數(shù)法將
分離出來后利用導(dǎo)數(shù)證明
不存在.
【試題解析】
（1）由題意得
，令
，解得
，
當
時， 
，函數(shù)
單調(diào)遞增；
當
時， 
，函數(shù)
單調(diào)遞減.
所以當
時， 
取得極大值，也是最大值，所以
，解得
.
又
的圖像關(guān)于
軸對稱，所以
，解得
.
（2）由（1）知
， 
，則
，所以
，令
，則
對
恒成立，
所以
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增，所以
恒成立，
所以函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增.
假設(shè)存在區(qū)間
，使得函數(shù)
在區(qū)間
上的值域是
，
則
，
問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于
的方程
在區(qū)間
內(nèi)是否存在兩個不相等的實根，
即方程
在區(qū)間
內(nèi)是否存在兩個不相等的實根，
令
， 
，則
，
設(shè)
， 
，則
對
恒成立，所以函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增，故
恒成立，所以
，所以函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞增，所以方程
在區(qū)間
內(nèi)不存在兩個不相等的實根.
綜上所述，不存在區(qū)間
，使得函數(shù)
在區(qū)間
上的值域是
.
海淀黃岡名師導(dǎo)航系列答案
普通高中同步練習冊系列答案科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.設(shè)H1(x)＝max
，H2(x)＝min (max
表示p，q中的較大值，min表示p，q中的較小值)．記H1(x)的最小值為A，H2(x)的最大值為B，則A－B＝( )
A.16B.－16
C.a2－2a－16D.a2＋2a－16
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某保險公司針對企業(yè)職工推出一款意外險產(chǎn)品，每年每人只要交少量保費，發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬元.保險公司把職工從事的所有崗位共分為
、
、
三類工種，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的每賠付頻率如下表（并以此估計賠付概率）.
（Ⅰ）根據(jù)規(guī)定，該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤都不得超過保費的20%，試分別確定各類工種每張保單保費的上限；
（Ⅱ）某企業(yè)共有職工20000人，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，老板準備為全體職工每人購買一份此種保險，并以（Ⅰ）中計算的各類保險上限購買，試估計保險公司在這宗交易中的期望利潤.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標系
中，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），在以直角坐標系的原點
為極點， 
軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的極坐標方程為
.
（Ⅰ）求曲線
的直角坐標方程和直線
的普通方程；
（Ⅱ）若直線
與曲線
相交于
， 
兩點，求
的面積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】從某市主辦的科技知識競賽的學(xué)生成績中隨機選取了40名學(xué)生的成績作為樣本，已知這些成績?nèi)吭?0分至100分之間，現(xiàn)將成績按如下方式分成6組：第一組
；第二組
；
；第六組
，并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．
求成績在區(qū)間
內(nèi)的學(xué)生人數(shù)；
估計這40名學(xué)生成績的眾數(shù)和中位數(shù)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，河的兩岸分別有生活小區(qū)
和
，其中
，
三點共線，
與
的延長線交于點
，測得
，
，
，
，
，若以
所在直線分別為
軸建立平面直角坐標系
則河岸
可看成是曲線
（其中
是常數(shù)）的一部分，河岸
可看成是直線
（其中
為常數(shù)）的一部分．
（1）求
的值．
（2）現(xiàn)準備建一座橋
，其中
分別在
上，且
，
的橫坐標為
．寫出橋的長
關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式
，并標明定義域；當為何值時，取到最小值？最小值是多少？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求M∩P＝{x|5<x≤8}的充要條件；
(2)求實數(shù)a的一個值，使它成為M∩P＝{x|5<x≤8}的一個充分但不必要條件．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知{xn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求數(shù)列{xn}的通項公式；
(2)如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1,1)，P(x2,2)，…，Pn＋1(xn＋1，n＋1)得到折線P1P2…Pn＋1，求由該折線與直線y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所圍成的區(qū)域的面積Tn．
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