Question

如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形，且PA=AD，E，F(xiàn) 分別是線段PA，CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求EF和平面ABCD所成的角的正切值
（Ⅱ）求異面直線EF與BD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．設(shè)PA=AD=1，可得A、B、P、D、E、F各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出

AP

=（0，0，1）為平面ABCD的一個(gè)法向量，且

EF

=（

1

2

，1，-

1

2

），利用空間向量的夾角公式算出cos＜

EF

，

AP

＞的值，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系即可算出EF和平面ABCD所成的角的正切值；
（2）由

BD

=（-1，1，0）且

EF

=（

1

2

，1，-

1

2

），利用用空間向量的夾角公式算出cos＜

EF

，

BD

＞的值，即可得到異面直線EF與BD所成的角的余弦值．

解答：解：（1）分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
設(shè)PA=AD=1，可得A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1）
D（0，1，0），E（0，0，

1

2

），F(xiàn)（

1

2

，1，0）
∴

EF

=（

1

2

，1，-

1

2

）
∵

AP

=（0，0，1）為平面ABCD的一個(gè)法向量
∴設(shè)EF和平面ABCD所成的角為α，則
cos＜

EF

，

AP

＞=

EF • AP

|EF| • |AP|

=

- 1 2

1 4 +1+ 1 4 •1

=-

6

6

可得sinα=|cos＜

EF

，

AP

＞|=

6

6

，
cosα=

1-sin2α

=

30

6

，tanα=

sinα

cosα

=

5

5

，
即EF和平面ABCD所成的角的正切值等于

5

5

；
（2）由（1）得

BD

=（-1，1，0），

EF

=（

1

2

，1，-

1

2

）
∴cos＜

EF

，

BD

＞=

EF • BD

|EF| • |BD|

=

- 1 2 +1+0

1 4 +1+ 1 4 • 1+1+0

=

3

6

即異面直線EF與BD所成的角的余弦值

3

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題利用空間直角坐標(biāo)系，求直線與平面所成角和異面直線所成角的大小．著重考查了空間角的定義與求法和向量的夾角公式等知識(shí)，屬于中檔題．