Question

橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個焦點是F（1，0），已知橢圓短軸的兩個三等分點與一個焦點構(gòu)成正三角形．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知Q（x₀，y₀）為橢圓上任意一點，求以Q為切點，橢圓的切線方程．
（3）設點P為直線x=4上一動點，過P作橢圓兩條切線PA，PB，求證直線AB過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）先由題意可得，△EFG為邊長是

2b

3

，高為c=1的等邊三角形．利用三角函數(shù)知識得出b=

3

，從而求得a值，最后寫出橢圓的標準方程；
（2）設以Q為切點的切線方程的斜率為k，再分類討論：
①若y₀＞0，設f(x)=

3(1- x2 4 )

，利用導數(shù)的幾何求得切線的斜率進而得出切線方程；
②若y₀＜0，設f(x)=-

3(1- x2 4 )

，同理可得切線方程為

xx0

4

+

yx0

3

=1；
③若y₀=0，則Q（2，0），切線方程為x=2，亦滿足

xx0

4

+

yx0

3

=1，綜上所述，得出切線方程．
（3）設點P（4，t），切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（2）可知兩切線方程PA，PB的方程，同去利用P點在切線PA，PB上，得到x+

ty

3

-1=0為AB的直線方程，從而問題解決．

解答：解：（1）由題意可得，△EFG為邊長是

2b

3

，高為c=1的等邊三角形．
tan60°=

OF

1 2 EG

=

1

b 3

=

3

，故b=

3

，而c=1，所以a=

b2+c2

=2
橢圓的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1（3分）
（2）設以Q為切點的切線方程的斜率為k，
①若y₀＞0，設f(x)=

3(1- x2 4 )

，
則f′(x)=

-x

4 3(1- x2 4 )

，k=f′(x0)=

-x0

4 3(1- x02 4 )

由于Q（x₀，y₀）在橢圓上，故

x02

4

+

y02

3

=1，
即y0=

3(1- x02 4 )

∴k=

-3x0

4y0

此時切線方程為y-y0=

-3x0

4y0

(x-x0)，整理得：

xx0

4

+

yx0

3

=

y 2 0

3

+

x 2 0

4

將

x02

4

+

y02

3

=1代入，得

xx0

4

+

yx0

3

=1（6分）
②若y₀＜0，設f(x)=-

3(1- x2 4 )

，
則f′(x)=

x

4 3(1- x2 4 )

，k=f′(x0)=

x0

4 3(1- x02 4 )

由于Q（x₀，y₀）在橢圓上，故

x02

4

+

y02

3

=1，
即y0=-

3(1- x02 4 )

∴k=

-3x0

4y0

于是與①同理可得切線方程為

xx0

4

+

yx0

3

=1（8分）
③若y₀=0，則Q（2，0），切線方程為x=2，亦滿足

xx0

4

+

yx0

3

=1
綜上所述，切線方程為

xx0

4

+

yx0

3

=1（9分）
（3）設點P（4，t），切點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（2）可知兩切線方程PA，PB分別為

xx1

4

+

yy1

3

=1，

xx2

4

+

yy2

3

=1（11分）
P點在切線PA，PB上，故P（4，t）滿足

xx1

4

+

yy1

3

=1，

xx2

4

+

yy2

3

=1
得：x1+

ty1

3

=1，x2+

ty2

3

=1
故A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均滿足方程x+

ty

3

=1，
即x+

ty

3

-1=0為AB的直線方程．（13分）x+

ty

3

-1=0中，
令y=0，則x=1，故AB過定點（1，0），題得證．（14分）

點評：本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系，導數(shù)的幾何意義等基本知識，考查運算能力和綜合解題能力．解題時要注意運算能力的培養(yǎng)．