Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n-1²=

(n-3) a 2 n +3an-1

n-1

（n≥2），當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＞a₁
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）若b_n=（

1

2

）^a_n-1，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，試比較S_n與

2n+3

n+1

的大�。�

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，代入計(jì)算可得結(jié)論；
（2）猜想通項(xiàng)，利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明；
（3）利用等比數(shù)列的求和公式，求和即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n-1²=

(n-3) a 2 n +3an-1

n-1

，
∴a₂=1或2
∵當(dāng)n≥2時(shí)，a_n＞a₁，∴a₂=2
同理，a₃=3，a₄=4；
（2）猜想a_n=n，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①n=1，2，3時(shí)，顯然成立；
②假設(shè)n=k（k≥3）時(shí)，結(jié)論成立，即a_k=k，則
由a_k²=

(k-2) a 2 k-1 +3ak-1-1

k

=k²，解得a_k+1=k+1或-

k2-k+1

k-2

（舍去）
故對(duì)n=k+1時(shí)也成立
由①②可知a_n=n；
（3）b_n=（

1

2

）^a_n-1=（

1

2

）^n-1，
∴S_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

＜2
∵

2n+3

n+1

=2+

1

n+1

＞2
∴S_n＜

2n+3

n+1

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．