Question

已知集合A={x|x²-2ax+a²-1＜0}，B={x|

x+1

ax-2

＞1}，命題P：2∈A，命題Q：1∈B，若復(fù)合命題“P或Q”為真命題，“P且Q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：由已知中集合A={x|x²-2ax+a²-1＜0}={x|a-1＜x＜a+1}，我們易求出命題P：2∈A為真時，參數(shù)a的取值范圍，又由B={x|

x+1

ax-2

＞1}，我們易確定出命題Q：1∈B，為真時，參數(shù)a的取值范圍，結(jié)合復(fù)合命題“P或Q”為真命題，“P且Q”為假命題，即命題P，Q有且只有一個是真命題，得到答案．

解答：解：A={x|x²-2ax+a²-1＜0}={x|a-1＜x＜a+1}，2∈A時a-1＜2＜a+1，則1＜a＜3，即命題P：1＜a＜3（4分）
由1∈{x|

x+1

ax-2

＞1}得

2

a-2

＞1⇒2＜a＜4
即命題Q：2≤a≤4（4分）
由題意知命題P，Q有且只有一個是真命題，
∴1＜a≤2或3≤a＜4（4分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，元素與集合關(guān)系的判斷，復(fù)合命題判斷的真值表，其中根據(jù)元素與集合關(guān)系判斷的方法，求出命題P和命題Q為真命題時，參數(shù)a的取值范圍，是解答本題的關(guān)鍵．