Question

已知以C（2，0）為圓心的圓C和兩條射線y=±x，（x≥0）都相切，設(shè)動直線L與圓C相切，并交兩條射線于A、B，求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

解：設(shè)直線L的方程為y=kx+b．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
由得A（），（k≠1）
由得B（），
∴
由①②得：k=，b= ③
∵圓C與y=±x都相切
∴圓C的半徑r=．
∵AB：kx-y+b=0與圓C相切，
∴=，即2k²+4kb+b²-=0 ④
將③代入④（y²-x²）+4x（y²-x²）-2（y²-x²）=0
∵y²≠x²，∴y²-x²+4x-2=0即（x-2）²-y²=2．（y≠0）
當(dāng)L⊥x軸時，線段AB的中點(diǎn)M（2±，0）也符合上面的方程，其軌跡在∠AOB內(nèi)．
分析：設(shè)直線L的方程為y=kx+b．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），通過得求出A，通過得B，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：k=，b=，通過圓C與y=±x都相切，推出（y²-x²）+4x（y²-x²）-2（y²-x²）=0，推出軌跡方程．
點(diǎn)評：本題考查軌跡方程的求法，考查分析問題解決問題的能力，恰當(dāng)消元利用已知條件是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．