Question

已知

m

=(sinA，cosA)，

n

=(-sinB，cosB)，

m

•

n

=cos2c，且A、B、C分別為a、b、c 三邊所對的角．
（1）求角C的大小
（2）若sinA，sinC，sinB成等比數(shù)列，且

CA

•(

AB

-

AC

)=18，求a+b的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則及兩角和的余弦函數(shù)公式化簡

m

•

n

=cos2C，得到cos2C=2cos²C-1=-cosC，化簡后即可求出cosC的值，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由sinA，sinC，sinB成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質得到sin²C=sinAsinB，根據(jù)正弦定理得到c²=ab，再根據(jù)向量的減法法則化簡已知的

CA

•(

AB

-

AC

)=18，利用平面向量的數(shù)量積的運算法則得到ab的值，利用余弦定理表示出c的平方，把求出的C的度數(shù)，c²=ab及ab的值代入即可列出關于a+b的方程，求出方程的解即可得到a+b的值．

解答：解：（1）

m

•

n

=-sinAsinB+cosAcosB=cos(A+B)
對于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴cos（A+B）=-cosC
∴

m

•

n

=-cosC
又∵

m

•

n

=cos2C，
∴cos2C=2cos²C-1=-cosC，
又C∈（0，π），解方程得cosC=

1

2

，
∴C=

π

3

；
（2）由sinA，sinC，sinB成等比數(shù)列，得sin²C=sinAsinB
由正弦定理得c²=ab，
∵

CA

•(

AB

-

AC

)=18，
∴

CA

•

CB

=18，
得abcosC=18，即ab=36，則c=6
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∴36=（a+b）²-3×36，即（a+b）²=12²，
∴a+b=12．

點評：本題主要考查學生掌握平面向量的數(shù)量積的運算法則及向量的減法法則，掌握等差數(shù)列的性質，靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及余弦定理化簡求值，是一道中檔題．