【題目】已知
為等差數(shù)列，
為等比數(shù)列，
．
（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記的前
項(xiàng)和為
，求證：
；
（Ⅲ）對任意的正整數(shù)，設(shè)
求數(shù)列
的前
項(xiàng)和．
【答案】（Ⅰ）
，
；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）
.
【解析】
(Ⅰ)由題意分別求得數(shù)列的公差、公比，然后利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到結(jié)果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)論首先求得數(shù)列
前n項(xiàng)和，然后利用作差法證明即可；
(Ⅲ)分類討論n為奇數(shù)和偶數(shù)時數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后分別利用指數(shù)型裂項(xiàng)求和和錯位相減求和計(jì)算
和
的值，據(jù)此進(jìn)一步計(jì)算數(shù)列
的前2n項(xiàng)和即可.
(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列
的公差為
，等比數(shù)列
的公比為q.
由
，
，可得d=1.
從而的通項(xiàng)公式為.
由
，
又q≠0，可得
，解得q=2，
從而的通項(xiàng)公式為.
(Ⅱ)證明：由(Ⅰ)可得
，
故
，
，
從而
，
所以
.
(Ⅲ)當(dāng)n為奇數(shù)時，
，
當(dāng)n為偶數(shù)時，
，
對任意的正整數(shù)n，有
，
和
①
由①得
②
由①②得
，
由于
，
從而得：
.
因此，
.
所以，數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.
全優(yōu)考典單元檢測卷及歸類總復(fù)習(xí)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某城市對一項(xiàng)惠民市政工程滿意程度（分值：
分）進(jìn)行網(wǎng)上調(diào)查，有2000位市民參加了投票，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖（部分圖）：
現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有參與網(wǎng)上投票的市民中隨機(jī)抽取
位市民召開座談會，其中滿意程度在
的有5人．
（1）求的值，并填寫下表（2000位參與投票分?jǐn)?shù)和人數(shù)分布統(tǒng)計(jì)）；
滿意程度（分?jǐn)?shù)） |
|
|
|
|
|
人數(shù) |
（2）求市民投票滿意程度的平均分（各分?jǐn)?shù)段取中點(diǎn)值）；
（3）若滿意程度在的5人中恰有2位為女性，座談會將從這5位市民中任選兩位發(fā)言，求男性甲或女性乙被選中的概率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】CES是世界上最大的消費(fèi)電子技術(shù)展，也是全球最大的消費(fèi)技術(shù)產(chǎn)業(yè)盛會.2020CES消費(fèi)電子展于2020年1月7日—10日在美國拉斯維加斯舉辦.在這次CES消費(fèi)電子展上，我國某企業(yè)發(fā)布了全球首款彩色水墨屏閱讀手機(jī)，驚艷了全場.若該公司從7名員工中選出3名員工負(fù)責(zé)接待工作(這3名員工的工作視為相同的工作)，再選出2名員工分別在上午、下午講解該款手機(jī)性能，若其中甲和乙至多有1人負(fù)責(zé)接待工作，則不同的安排方案共有__________種.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
的內(nèi)角
，
，
的對邊分別為
，
，
，
.設(shè)
為線段
上一點(diǎn)，
，有下列條件：
①
；②
；③
.
請從以上三個條件中任選兩個，求
的大小和
的面積.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】2019年春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎促銷活動，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元則可參加一次抽獎活動，超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎方案.
方案一：一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.
方案二：一個不透明的盒子中裝有30個質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個紅球，20個白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則未中獎，且顧客有放回地抽取3次.
（1）現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎機(jī)會，且都按方案一抽獎，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；
（2）若某顧客獲得抽獎機(jī)會.
①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望；
②為了吸引顧客消費(fèi)，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎方案進(jìn)行促銷活動？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
的首項(xiàng)a1=1，前n項(xiàng)和為Sn．設(shè)λ與k是常數(shù)，若對一切正整數(shù)n，均有
成立，則稱此數(shù)列為“λ~k”數(shù)列．
（1）若等差數(shù)列
是“λ~1”數(shù)列，求λ的值；
（2）若數(shù)列是“
”數(shù)列，且an＞0，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）對于給定的λ，是否存在三個不同的數(shù)列為“λ~3”數(shù)列，且an≥0?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由，
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖①，在等腰梯形
中，
，
，
.
，交
于點(diǎn)
.將
沿線段
折起，使得點(diǎn)
在平面
內(nèi)的投影恰好是點(diǎn)，如圖.
（1）若點(diǎn)
為棱
上任意一點(diǎn)，證明：平面
平面
.
（2）在棱
上是否存在一點(diǎn)
，使得三棱錐
的體積為
？若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，
底面
，是直角梯形，
，
，且
，
是
的中點(diǎn).
(1)求證：平面
平面
；
(2)若二面角
的余弦值為
，求直線
與平面
所成角的正弦值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)
、
是拋物線
上的兩個不同的點(diǎn)，
是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線
與
的斜率之積為
，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.以
為直徑的圓面積的最小值為
C.直線過拋物線的焦點(diǎn)
D.點(diǎn)到直線的距離不大于
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