Question

已知

m

=（cosx，sinx），

n

=（cosx，2

3

cosx-sinx），f（x）=

m

•

n

+|

m

|，x∈（

5π

12

，π]．
（Ⅰ）求f（x）的最大值；
（Ⅱ）記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若f（B）=-1，a=c=2，求

AB

•

BC

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意求出函數(shù)f（x）的表達(dá)式，利用二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合x的范圍求出函數(shù)的最大值；
（Ⅱ）利用f（B）=-1求出B的值，a=c=2，然后直接求

AB

•

BC

．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

=（cosx，sinx），

n

=（cosx，2

3

cosx-sinx）
∴f（x）=

m

•

n

+|

m

|=cos²x+sinx（2

3

cosx-sinx）+1=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx+1=cos2x+

3

sin2x+1
=2sin（2x+

π

6

）+1．…4分
∵x∈（

5π

12

，π]，∴π＜2x+

π

6

≤

13

6

π?-1≤sin（2x+

π

6

）≤

1

2

，
∴f（x）max=f（π）=2．…6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（B）=2sin（2x+

π

6

）+1=-1，∴sin（2B+

π

6

）=-1，
而π＜2B+

π

6

≤

13

6

π，∴2B+

π

6

=

3π

2

?B=

2π

3

．…9分
又a=c=2，∴

AB

•

BC

=accos（π-B）=2×2cos

π

3

=2．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查向量的數(shù)量積的求法，三角函數(shù)的化簡求值，最值的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．