Question

已知x∈R，函數(shù)f（x）=x+

a

x+1

（x∈[0，+∞）），求函數(shù)f（x）的最小值．

Answer 1

分析：函數(shù)f（x）=x+

a

x+1

（x∈[0，+∞）），求函數(shù)f（x）的最小值，探討函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值；而函數(shù)的單調(diào)性與參數(shù)a的取值有關(guān)，因此要對(duì)a取值進(jìn)行分類討論．

解答：解：設(shè)x₁、x₂是[0，+∞）內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x₁＜x₂則
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

a

x1 +1

-x₂-

a

x2+1

=（x₁-x₂）+

a(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

=（x₁-x₂）（1-

a

(x1+1)( x2+1)

）．
（i）當(dāng)a＜1時(shí)，
1-

a

(x1+1)( x2+1)

=

x1x2+x1+x2+1-a

(x1+1)(x2+1)

＞0，（x₁-x₂）（1-

a

(x1+1)( x2+1)

）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0
因此，f（x）在[0，+∞）上時(shí)單調(diào)遞增函數(shù)，故（f（x））_min=f（0）=a．
（ii）當(dāng)a≥1時(shí)，
f（x）=x+

a

x+1

=（x+1）+

a

x+1

-1≥2

a

-1．
當(dāng)且僅當(dāng)x+1=

a

x+1

，即x=

a

-1（

a

-1∈[0，+∝））時(shí)，等號(hào)成立．
于是，（f（x））_min=f（

a

-1）=2

a

-1．
所以，（f（x））_min=

a(a＜1) 2 a -1(a≥1)

．

點(diǎn)評(píng)：考查了應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性的定義探討函數(shù)的單調(diào)性，注意：設(shè)x₁、x₂是[0，+∞）內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想；應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值也是常考的知識(shí)點(diǎn)，屬難題．