Question

（2012•江西模擬）已知函數(shù)f（x）=ln（x+2）-x²+bx+c．在點x=1處的切線與直線3x+7y+2=0垂直，且f（-1）=0，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最小值．

Answer 1

分析：與直線3x+7y+2=0垂直的直線的斜率為

7

3

，令f′(1)=

7

3

，得b=4，又f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，所以c=5，f′(x)=

1

x+2

-2x+4，由f′（x）=0，得x=

3 2

2

，由此能求出以f（x）在[0，3]最小值．

解答：解：與直線3x+7y+2=0垂直的直線的斜率為

7

3

，
令f′(1)=

7

3

，得b=4，
∵f（-1）=ln（2-1）-1-4+c=0，
∴c=5，f′(x)=

1

x+2

-2x+4，
由f′（x）=0，得x=

3 2

2

，
當x∈[0，

3 2

2

]時，f′（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；
當x∈(

3 2

2

，3]時，f′（x）≤0，f（x）單調(diào)遞減．
∵f（0）=ln2+5，f（3）=ln5+8，
所以f（x）在[0，3]最小值為ln2+5．

點評：本題考查利用導數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．