Question

【題目】某藝術(shù)品公司欲生產(chǎn)一款迎新春工藝禮品，該禮品是由玻璃球面和該球的內(nèi)接圓錐組成，圓錐的側(cè)面用于藝術(shù)裝飾，如圖1.為了便于設(shè)計(jì)，可將該禮品看成是由圓及其內(nèi)接等腰三角形繞底邊上的高所在直線旋轉(zhuǎn)180°而成，如圖2.已知圓的半徑為，設(shè)，圓錐的側(cè)面積為.

（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

（2）為了達(dá)到最佳觀賞效果，要求圓錐的側(cè)面積最大.求取得最大值時(shí)腰的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1） ，（2）側(cè)面積取得最大值時(shí)，等腰三角形的腰的長(zhǎng)度為

【解析】試題分析：（1）由條件，，，所以S，；（2）令，所以得，通過(guò)求導(dǎo)分析，得在時(shí)取得極大值，也是最大值。

試題解析：

（1）設(shè)交于點(diǎn)，過(guò)作，垂足為，

在中，，，

在中，，

所以S，

（2）要使側(cè)面積最大，由（1）得：

令，所以得，

由得：

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以在時(shí)取得極大值，也是最大值；

所以當(dāng)時(shí)，側(cè)面積取得最大值，

此時(shí)等腰三角形的腰長(zhǎng)

答：側(cè)面積取得最大值時(shí)，等腰三角形的腰的長(zhǎng)度為．