Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）的圖象在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行．
（1）求m的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值；
（3）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，試根據(jù)上述（1）、（2）的結(jié)論證明：

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

9

10

．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，f'（x）=-3x²-4mx-m²，函數(shù)f（x）圖象在x=2處的切線與直線y=-5x+12平行，可得函數(shù)f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m的圖象在x=2處的切線得斜率為-5，也即f′（2）=-5，代入f'（x）=-3x²-4mx-m²即可求解m的值．
（2）求出函數(shù)的f（x）的導數(shù)，令f′（x）=0，求出其極值點和單調(diào)區(qū)間，導數(shù)利用導數(shù)求解最值．
（3）根據(jù)f（x）=-x³+2x²-x+2=（1+x²）（2-x），由（2）的結(jié)論，可得

1

1+x2

≤ 

27

50

(2-x)，再根據(jù)已知條件，利用不等式間的等價轉(zhuǎn)化求解．

解答：解：（1）∵f'（x）=-3x²-4mx-m²，所以f'（2）=-12-8m-m²=-5，
解得m=-1或m=-7（舍），即m=-1（3分）
（2）由f'（x）=-3x²+4x-1=0，解得x1=1，x2=

1

3

，

∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，1]的最小值為f(

1

3

)=

50

27

．

（3）∵f（x）=-x³+2x²-x+2=（1+x²）（2-x），
由（2）知，當x∈[0，1]時，(1+x2) (2-x)≥

50

27

，
∴

1

1+x2

≤ 

27

50

(2-x)，
∴

x

1+x2

≤

27

50

(2x-x2)．
當a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1時，0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1，
所以

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

[2(a+b+c)-(a2+b2+c2)]=

27

50

[2-(a2+b2+c2)]
又因為（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca≤3（a²+b²+c²），
所以a2+b2+c2≥

1

3

，
故

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

(2-

1

3

)=

9

10

（當且僅當a=b=c=

1

3

時取等號）．

點評：本題主要考查區(qū)間上的最值問題，解題的關(guān)鍵是要對函數(shù)進行正確的求導，第三問要求掌握不等式間的等價轉(zhuǎn)化，本題難度比較大，是一道難題．