Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a2=2，前n項(xiàng)和為 ． （I）證明數(shù)列{an+1﹣an}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè) ，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n ， 求使不等式 對(duì)一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】解：（I）由題意，當(dāng) ． a2=2，則a2﹣a1=1．
當(dāng) ， ，
則 ，
則（n﹣1）an+1﹣2（n﹣1）an+（n﹣1）an﹣1=0，
即an+1﹣2an+an﹣1=0，
即an+1﹣an=an﹣an﹣1 ．
則數(shù)列{an+1﹣an}是首項(xiàng)為1，公差為0的等差數(shù)列．
從而an﹣an﹣1=1，則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
所以，an=n（n∈N*）
（II）
所以，
= ．
由于 ．
因此Tn單調(diào)遞增，
故Tn的最小值為
令 ，
所以k的最大值為18
【解析】（I）由題意，當(dāng) ．a(chǎn)2=2，則a2﹣a1=1．當(dāng) ，由此入手能夠?qū)С鰯?shù)列{an+1﹣an}是首項(xiàng)為1，公差為0的等差數(shù)列，從而能夠求出an ． （II） ，所以， = ．由此能夠求出使不等式 對(duì)一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）和等差關(guān)系的確定，需要了解通項(xiàng)公式：或；如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列才能得出正確答案．