Question

（2013•深圳一模）設(shè){a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．已知S₃=7，且3a₂是a₁+3和a₃+4和的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

an

(an+1)(an+1+1)

，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：Tn＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）利用條件建立方程組，求出首項(xiàng)與公比，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：由已知，得

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2.

…（3分）
解得a₂=2．
設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，則a₁q=2，
∴a1=

2

q

，a3=a1q2=2q．
由S₃=7，可知

2

q

+2+2q=7，
∴2q²-5q+2=0，解得q1=2，q2=

1

2

．
由題意，得q＞1，∴q=2．       …（5分）
∴a₁=1．
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為an=2n-1．   …（7分）
（2）證明：∵bn=

an

(an+1)(an+1+1)

=

2n-1

(2n-1+1)(2n+1)

=

1

2n-1+1

-

1

2n+1

，…（11分）
∴S_n=(

1

1+1

-

1

21+1

)+(

1

21+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)+…+(

1

2n-1+1

-

1

2n+1

)=

1

1+1

-

1

2n+1

=

1

2

-

1

2n+1

＜

1

2

．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念及其性質(zhì)，考查了數(shù)列求和的“裂項(xiàng)相消法”；考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和思維能力，屬于中檔題．