Question

已知是A、B、C直線l上的三點，向量

OA

，

OB

，

OC

滿足：

OA

-[f（x）+

1

x

]•

OB

-（x-1）•

OC

=

.

0

，且對任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,平面向量數(shù)量積的運算

專題：綜合題,平面向量及應用

分析：利用三點共線的等價條件，建立條件關系，求出函數(shù)y=f（x）的解析式，再分類討論，化為具體不等式，即可確定實數(shù)m的取值范圍

解答： 解：∵A、B、C是直線l上不同的三點，向量

OA

，

OB

，

OC

滿足：

OA

-[f（x）+

1

x

]•

OB

-（x-1）•

OC

=

.

0

，
∴f（x）+

1

x

+（1-x）=1，
∴f（x）=x-

1

x

，
∴f′（x）=1+

1

x2

，
∴f（x）為增函數(shù)，且m≠0，
若m＞0，則f（mx）、mf（x）均為增函數(shù)，此時不符合題意；
若m＜0，則mx-

1

mx

+mx-

m

x

＜0，∴1+

1

m2

＜2x²，
∵y=2x²在[1，+∞）上的最小值為2，∴1+

1

m2

＜2，
∴m＜-1．
故答案為：m＜-1．

點評：本題主要考查不等式恒成立的應用，考查向量知識，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，利用三點共線的等價條件，以及復合函數(shù)的單調(diào)性之間的關系是解決本題的關鍵，綜合性較強，運算量較大．