Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)的極小值為1，求實數(shù)m的值；

（2）若函數(shù)在時，其圖象全部都在第一象限，求實數(shù)m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，根據(jù)單調(diào)區(qū)間計算極值得到答案.

（2）題目等價于時，恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，計算導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論和兩種情況，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計算最值得到答案.

（1），，

①若，則在R上恒成立，

∴在單調(diào)遞增，所以無極值；

②若，當時，，當時，，

即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以的極小值為，由，解得.

綜上所述：.

（2），函數(shù)圖像全部在第一象限，等價于時，恒成立，

令，，

令，，令，

顯然在單調(diào)遞增，∴.

當時，，所以，∴在單調(diào)遞增，

∴，即，∴在單調(diào)遞增，

所以，此時符合題意；

當時，，∴，使，

故在恒為負值，在單調(diào)遞減，此時，

所以在單調(diào)遞減，所以，此時不符合題意.

故所求m的取值范圍為.