Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)
（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域
（2）若f(a)=

3

5

，2a是第一象限角，求tan2α的值．

Answer 1

分析：（1）先利用正弦余弦的差角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用配角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理成sin（2x-

π

6

），然后根據(jù)x的范圍判定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域；
（2）先根據(jù)角所在象限求出cos2α，sin2α，從而求出tan2α的值．

解答：解：（1）∵f(x)=cos(2x-

π

3

)+2sin(x-

π

4

)sin(x+

π

4

)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+sin2x-cos2x=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=sin(2x-

π

6

)---------------------（4分）∵x∈[-

π

12

，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

3

，

5π

6

]
當(dāng)x=

π

3

時(shí)，f（x）取最大值 1
又∵f(-

π

12

)=-

3

2

＜f(

π

2

)=

1

2

，∴當(dāng)x=-

π

12

時(shí)，f（x）取最小值-

3

2

所以 函數(shù) f（x）在區(qū)間[-

π

12

，

π

2

]上的值域?yàn)?span id="zqpq6ex" class="MathJye">[-

3

2

，1]-----（7分）
（2）因?yàn)?a是第一象限角，所以2a-

π

6

為第一四象限f(a)=sin(2α-

π

6

)=

3

5

所以cos(2α-

π

6

)=

4

5

cos2α=cos(2α-

π

6

+

π

6

)=

4 3 -3

10

，sin2α=sin(2α-

π

6

+

π

6

)=

3 3 +4

10

，---（13分）tan2α=

4+3 3

4 3 -3

=

48+25 3

39

---------------------------------------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的值域，以及差角公式和配角公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是化簡(jiǎn)變形，屬于中檔題．