Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

2

2

．
（1）若圓（x-2）²+（y-1）²=

20

3

與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)且線段AB恰為圓的直徑，求橢圓的方程；
（2）設(shè)L為過橢圓右焦點(diǎn)F的直線，交橢圓于M、N兩點(diǎn)，且L的傾斜角為60°．求

|MF|

|NF|

的值．
（3）在（1）的條件下，橢圓W的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，點(diǎn)R在直線l：x-

3

y+8=0上．當(dāng)∠F₁RF₂取最大值時(shí)，求

|RF1|

|RF2|

的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出AB的方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及線段AB恰為圓的直徑，可求橢圓的方程；
（2）設(shè)|MF|=m，|NF|=n，則由第二定義知|

n

e

-

m

e

|=

1

2

•(m+n)，由此可求

|MF|

|NF|

的值；
（3）當(dāng)∠F₁RF₂取最大值時(shí)，過R、F₁、F₂的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切，利用△F₁SR∽△RSF₂，即可求

|RF1|

|RF2|

的值．

解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程為y-1=k（x-2）即y=kx+1-2k①
∵離心率e=

2

2

，∴橢圓方程可化為

x2

2b2

+

y2

b2

=1②
將①代入②得（1+2k²）x²+4（1-2k）•kx+2（1-2k）²-2b²=0
∵x₁+x₂=

4(2k-1)k

1+2k2

=4，∴k=-1
∴x₁x₂=

18-2b2

1+2

=6-

2

3

b2
又|AB|=2•

20 3

，∴

1+1

|x1-x2|=2

20 3

即(x1-x2)2=

40

3

，∴b²=8
∴橢圓方程為

x2

16

+

y2

8

=1
（2）設(shè)|MF|=m，|NF|=n，則由第二定義知|

n

e

-

m

e

|=

1

2

•(m+n)
即

m

n

=

2 2 -1

2 2 +1

=

9-4 2

7

或

m

n

=

9+4 2

7

∴

|MF|

|NF|

=

9+4 2

7

或

|MF|

|NF|

=

9-4 2

7

．
（3）當(dāng)∠F₁RF₂取最大值時(shí)，過R、F₁、F₂的圓的圓心角最大，故其半徑最小，與直線l相切．
直線l與x軸于S（-8，0），
∵△F₁SR∽△RSF₂，
∴

|RF1|

|RF2|

=

|SF1|

|SR|

=

|SR|

|SF2|

=

|SF1| |SR| |SR| |SF2|

=

|SF1| |SF2|

=

2 14 - 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查橢圓的第二定義，考查三角形的相似，正確運(yùn)用橢圓的性質(zhì)及第二定義是關(guān)鍵．