Question

設(shè)f(x)=

a

x

+xlnx，g（x）=x³-x²-3，
（I）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；
（II）如果存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；
（III）當(dāng)a≥1時(shí)，證明對(duì)于任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立．

Answer 1

分析：（I）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=

2

x

+xlnx，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，化成斜截式即可．
（II）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的最大值和最小值，然后求出g（x）_max-g（x）_min，從而求出滿足條件的最大整數(shù)M；
（III）先求出在區(qū)間[

1

2

，2]上，g（x）的最大值，然后求出h（x）的最小值，從而證明出在區(qū)間[

1

2

，2]上f（x）≥g（x）恒成立，從而得到結(jié)論．

解答：解：（I）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=

2

x

+xlnx，f'（x）=-

2

x2

+lnx+1，
∴f（1）=2，f'（1）=-1．
∴y=f（x）在x=1處的切線方程為y=-x+3
（II）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得g（x₁）-g（x₂）≥M成立
g（x）=x³-x²-3，g'（x）=3x²-2x=3x（x-

2

3

）
當(dāng)x∈（0，

2

3

）時(shí)，g'（x）＜0，當(dāng)x∈（

2

3

，2）時(shí)，g'（x）＞0，
∴g（x）_min=g（

2

3

）=-

85

27

，g（x）_max=g（2）=1
g（x）_max-g（x）_min=

112

27

∴滿足條件的最大整數(shù)M=4
（III）證明：由（II）知，在區(qū)間[

1

2

，2]上，g（x）的最大值為g（2）=1
當(dāng)a≥1時(shí)，且x∈[

1

2

，2]，f(x)=

a

x

+xlnx≥

1

x

+xlnx，
記h（x）=

1

x

+xlnx，h'（x）=-

1

x2

+lnx+1，h'（1）=0
當(dāng)x∈[

1

2

，1），h'（x）＜0，當(dāng)x∈（1，2]，h'（x）＞0
∴函數(shù)h（x）=

1

x

+xlnx在區(qū)間[

1

2

，1）上遞減，在區(qū)間（1，2]上遞增，
∴h（x）_min=h（1）=1，即h（x）≥1
即當(dāng)a≥1時(shí)，且x∈[

1

2

，2]，f（x）≥1成立，
∴f（x）≥g（2）∴f（x）≥g（x）
即當(dāng)a≥1時(shí)，證明對(duì)于任意的s，t∈[

1

2

，2]，都有f（s）≥g（t）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)恒成立問(wèn)題和利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于中檔題．