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        1. (2014•瀘州一模)已知函數(shù)f(x)=
          a
          x
          +x+(a-1)lnx+15a
          ,F(xiàn)(x)=-2x3+3(a+2)x2+6x-6a-4a2,其中a<0且a≠-1.
          (Ⅰ) 當(dāng)a=-2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
          (Ⅱ) 若x=1時(shí),函數(shù)F(x)有極值,求函數(shù)F(x)圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo);
          (Ⅲ)設(shè)函數(shù)g(x)=
          F(x)-6x2+6(a-1)x•ex,x≤1
          e•f(x),                             x>1
          (e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),是否存在a使g(x)在[a,-a]上為減函數(shù),若存在,求實(shí)數(shù)a的范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
          分析:(Ⅰ) 當(dāng)a=-2,對(duì)f(x)求導(dǎo)數(shù)f′(x),令f'(x)>0,解得f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
          (Ⅱ)由F(x)在x=-1時(shí)有極值,得F'(-1)=0,求出a的值,從而得F(x)的解析式,求出F(x)圖象的對(duì)稱中心;
          (Ⅲ)假設(shè)結(jié)論成立,設(shè)h1(x)=F(x)-6x2+6(a-1)x•ex,h2(x)=e•f(x),則h1(x)在[a,1]上為減函數(shù),h2(x)在[1,-a]上為減函數(shù),且h1(1)≥h2(1),求出a的取值范圍.
          解答:解:(Ⅰ) 當(dāng)a=-2,f(x)=-
          2
          x
          +x-3lnx-30(x>0)∴f′(x)=
          2
          x2
          +1-
          3
          x
          =
          x2-3x+2
          x2
          ,
          設(shè)f'(x)>0,即x2-3x+2>0,
          所以x<1,或x>2,
          ∴f(x)單調(diào)增區(qū)間是(0,1),(2,+∞);
          (Ⅱ)∵F(x)=-2x3+3(a+2)x2+6x-6a-4a2,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)F(x)有極值,
          ∴F'(x)=-6x2+6(a+2)x+6,
          且F'(1)=0,即a=-2,
          ∴F(x)=-2x3+6x-4,
          又F(x)=-2x3+6x-4的圖象可由F1(x)=-2x3+6x的圖象向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到,而F1(x)=-2x3+6x的圖象關(guān)于(0,0)對(duì)稱,
          所以F(x)=-2x3+6x-4的圖象的對(duì)稱中心坐標(biāo)為(0,-4);
          (Ⅲ)假設(shè)存在a使g(x)在[a,-a]上為減函數(shù),
          設(shè)h1(x)=F(x)-6x2+6(a-1)x•ex,h2(x)=e•f(x)=e•(
          a
          x
          +x+(a-1)lnx+15a)
          ,
          h1(x)=(-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2)•ex
          設(shè)m(x)=(-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2),
          當(dāng)g(x)在[a,-a]上為減函數(shù),則h1(x)在[a,1]上為減函數(shù),h2(x)在[1,-a]上為減函數(shù),且h1(1)≥h2(1).
          由(Ⅰ)知當(dāng)a<-1時(shí),f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(1,-a),
          由h1(1)≥h2(1)得:4a2+13a+3≤0,
          解得:-3≤a≤-
          1
          4

          當(dāng)h1(x)在[a,1]上為減函數(shù)時(shí),對(duì)于?x∈[a,1],h'1(x)≤0即m(x)≤0恒成立,
          因?yàn)閙'(x)=-6(x+2)(x-a),
          (1)當(dāng)a<-2時(shí),m(x)在[a,-2]上是增函數(shù),在(-∞,a],[-2,+∞)是減函數(shù),
          所以m(x)在[a,1]上最大值為m(-2)=-4a2-12a-8,
          故m(-2)=-4a2-12a-8≤0,
          即a≤-2,或a≥-1,故a<-2;
          (2)當(dāng)a>-2時(shí),m(x)在[-2,a]上是增函數(shù),在(-∞,-2],[a,+∞)是減函數(shù),
          所以m(x)在[a,1]上最大值為m(a)=a2(a+2),
          故m(a)=a2(a+2)≤0,則a≤-2與題設(shè)矛盾;
          (3)當(dāng)a=-2時(shí),m(x)在[-2,1]上是減函數(shù),
          所以m(x)在[a,1]上最大值為m(-2)=-4a2-12a-8=0,
          綜上所述,符合條件的a滿足[-3,-2].
          點(diǎn)評(píng):本題考查了利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判定函數(shù)的單調(diào)性以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的極值問(wèn)題,也考查了分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題,是較難的題目.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          (2014•瀘州一模)2lg2-lg
          1
          25
          的值為( 。

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          1
          x2
          )sinx
          的圖象大致為( 。

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          (2014•瀘州一模)△ABC中,若
          AD
          =2
          DB
          CD
          =
          1
          3
          CA
          CB
          ,則λ=(  )

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