Question

【題目】如圖①，四邊形中，，，，，為的中點(diǎn).將沿折起到的位置，如圖②.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在圖①中，，，根據(jù)翻折的性質(zhì)得出在圖②中，，，利用線面垂直的判定定理得出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得平面平面；

（Ⅱ）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算出平面的一個法向量，利用空間向量法可求得與平面所成角的正弦值.

（Ⅰ）因?yàn)樗倪呅?/span>中，，，，，為的中點(diǎn)，

且，則四邊形為矩形，所以，即，.

在圖②中，，，

又因?yàn)?/span>，所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（Ⅱ）由得，

又，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由，得、、、，

，.

設(shè)平面的法向量為，

則，即，令，得，可得，

又，設(shè)直線與平面所成角為，

所以.

因此，直線與平面所成角的正弦值為.