Question

設(shè)函數(shù)f(θ)＝sinθ＋cosθ，其中，角θ的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，y)，且0≤θ≤π.

(1)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求f(θ)的值；

(2)若點(diǎn)P(x，y)為平面區(qū)域Ω：，上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試確定角θ的取值范圍，并求函數(shù)f(θ)的最小值和最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）2；（2）0≤θ≤； f(θ)的最大值等于2 ，f(θ)最小值等于1.

【解析】

試題分析：(1)由任意角三角函數(shù)的定義可得sinθ，cosθ，代入函數(shù)f(θ)＝sinθ＋cosθ，從而求出f(θ)的值.

  (2)作出平面區(qū)域Ω(即三角區(qū)域ABC)，如圖所示，其點(diǎn)P在該平面區(qū)域內(nèi)，連結(jié)OP，便可得角θ的范圍.將f(θ)化一得： f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋).根據(jù)角θ的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象的性質(zhì)，便  可得f(θ)的范圍．

試題解析：(1)由點(diǎn)P的坐標(biāo)和三角函數(shù)的定義可得sinθ＝，cosθ＝.

于是f(θ)＝sinθ＋cos θ＝＝2.

 (2)作出平面區(qū)域Ω(即三角區(qū)域ABC)如圖所示，其中A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)．

由圖可得：0≤θ≤.

又f(θ)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)，且≤θ＋≤，

故當(dāng)θ＋＝，即θ＝時(shí)，f(θ)取得最大值，且最大值等于2 ；

當(dāng)θ＋＝，即θ＝0時(shí)，f(θ)取得最小值，且最小值等于1.

考點(diǎn)：1、任意角三角函數(shù)的定義；2、二元不等式組表示的平面區(qū)域；3、三角函數(shù)的最值.