Question

已知向量a=（1+cos（2x+φ），1），b=（1，a+

3

sin（2x+φ））（φ為常數(shù)且-

π

2

＜φ＜

π

2

），函數(shù)f（x）=a•b在R上的最大值為2．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）把函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

12

個單位，可得函數(shù)y=2sin2x的圖象，求函數(shù)y=f（x）的解析式及其單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和公式對函數(shù)解析式化簡整理，利用正弦函數(shù)的值域表示出函數(shù)的最大值求得a．
（2）把（1）中函數(shù)的圖象依題意平移后可得新的解析式，令φ=2kπ求得φ的值，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）f（x）=1+cos（2x+φ）+a+

3

sin（2x+φ）
=2sin（2x+φ+

π

6

）+a+1．
因為函數(shù)f（x）在R上的最大值為2，
所以3+a=2，即a=-1．
（2）由（1）知：f（x）=2sin（2x+φ+

π

6

）．
把函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ+

π

6

）的圖象向右平移

π

12

個單位可得函數(shù)
y=2sin（2x+φ）=2sin2x，
∴φ=2kπ，k∈Z．
又∵-

π

2

＜φ＜

π

2

，∴φ=0．
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）．
因為2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

?kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
所以，y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為
[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的最值．三角函數(shù)的單調(diào)性，值域等基本性質(zhì)．要求學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識全面熟練的掌握．