Question

已知點P（2cosα，2sinα）和Q（ a，0 ），O為坐標原點．當α∈（0，π）時，
（Ⅰ）若存在點P，使得PO⊥PQ，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ） 如果a=-1，設向量與的夾角為θ，求證：cosθ≥．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先寫出向量的坐標 ，，由題意可得 ，利用向量垂直的條件得到cosα=．利用-1≤cosα≤1即可求出實數a的取值范圍；
（Ⅱ） 如果a=-1，=（-1-2cosα，-2sinα），利用向計算公式得夾角余弦值cosθ==，設，利用換元法即可求得其范圍，從而得出cosθ≥．
解答：解：（Ⅰ） =（-2cosα，-2sinα），=（a-2cosα，-2sinα），
由題意可得 ，
∴（-2cosα，-2sinα）•（a-2cosα，-2sinα）=（-2cosα）•（a-2cosα）+4sin²α=0，
∴cosα=．    
當α∈（0，π）時，-1≤cosα≤1，∴-1≤≤1，
∴a≤-2，或 a≥2，故實數a的取值范圍為 （-∞，-2]∪[2，+∞）．
（Ⅱ） 如果a=-1，=（-1-2cosα，-2sinα），
cosθ=== 
=
設，則cosα=，
∴=，
∴cosθ≥．
點評：本小題主要考查數量積判斷兩個平面向量的垂直關系、數量積表示兩個向量的夾角、基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力，化歸與轉化思想．屬于中檔題．