Question

已知點(diǎn)P（2cosα，2sinα）和Q（ a，0 ），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)α∈（0，π）時(shí)，
（Ⅰ）若存在點(diǎn)P，使得PO⊥PQ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ） 如果a=-1，設(shè)向量與的夾角為θ，求證：cosθ≥．

Answer 1

解：（Ⅰ） =（-2cosα，-2sinα），=（a-2cosα，-2sinα），
由題意可得 ，
∴（-2cosα，-2sinα）•（a-2cosα，-2sinα）=（-2cosα）•（a-2cosα）+4sin²α=0，
∴cosα=．
當(dāng)α∈（0，π）時(shí)，-1≤cosα≤1，∴-1≤≤1，
∴a≤-2，或 a≥2，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為 （-∞，-2]∪[2，+∞）．
（Ⅱ） 如果a=-1，=（-1-2cosα，-2sinα），
cosθ===
=
設(shè)，則cosα=，
∴=，
∴cosθ≥．
分析：（Ⅰ）先寫出向量的坐標(biāo) ，，由題意可得 ，利用向量垂直的條件得到cosα=．利用-1≤cosα≤1即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ） 如果a=-1，=（-1-2cosα，-2sinα），利用向計(jì)算公式得夾角余弦值cosθ==，設(shè)，利用換元法即可求得其范圍，從而得出cosθ≥．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系、數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．