Question

【題目】四棱錐P﹣ABCD的四條側(cè)棱長(zhǎng)相等，底面ABCD為正方形，M為PB的中點(diǎn)，求證：
（Ⅰ）PD∥平面ACM；
（Ⅱ）PO⊥平面ABCD；
（Ⅲ）若PA=AB，求異面直線PD與CM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接OM，正方形ABCD中，OB=OD，
M為PB的中點(diǎn)，
∴PD∥OM，
∵OM面ACM，PD不在面ACM內(nèi)，
∴PD∥面ACM；
（Ⅱ）∵PA=PC，OA=OC，∴PO⊥AC，同理PO⊥BD，
AC∩BD=O，
∴PO⊥面ABCD．
（Ⅲ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
∵四棱錐P﹣ABCD的四條側(cè)棱長(zhǎng)相等，底面ABCD為正方形，M為PB的中點(diǎn)，PA=AB，設(shè)AB=1，
可得：D（﹣ ，﹣ ，0），P（0，0， ），C（ ，﹣ ，0），B（ ， ，0），M（ ， ， ），
可得： =（﹣ ，﹣ ，﹣ ）， =（﹣ ， ， ），
∴cos＜ ， ＞= =﹣ ，
設(shè)異面直線PD與CM所成角為α，
∴sinα=﹣ ．

【解析】（Ⅰ）欲證PD∥面ACM，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PD與面ACM內(nèi)一直線平行即可，連接OM，而OB=OD，則PD∥OM，OM面ACM，PD不在面ACM內(nèi)，滿足定理所需條件；（Ⅱ）欲證PO⊥面ABCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證PO與面ABCD內(nèi)兩相交直線垂直，而PA=PC，OA=OC，則PO⊥AC，同理PO⊥BD，AC∩BD=O，滿足定理所需條件；（Ⅲ）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用cos＜ ， ＞= 可得：異面直線PB與AD所成角．
【考點(diǎn)精析】利用異面直線及其所成的角和直線與平面平行的判定對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點(diǎn)，作另一條的平行線；2、補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長(zhǎng)方體等，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系；平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行．