Question

設(shè)曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，則x₁•x₂•…•x_n的值為

 

．

Answer 1

分析：本題考查的主要知識點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，由曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*），求導(dǎo)后，不難得到曲線y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點(diǎn)（1，1）處的切線方程，及與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x_n，分析其特點(diǎn)，易得x₁•x₂•…•x_n的值．

解答：解：對y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）求導(dǎo)得y′=（n+1）xⁿ，
令x=1得在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率k=n+1，
在點(diǎn)（1，1）處的切線方程為y-1=k（x_n-1）=（n+1）（x_n-1），
不妨設(shè)y=0，x_n=

n

n+1

則x₁•x₂•…•x_n=

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n-1

n

×

n

n+1

=

1

n+1

．
故答案為：

1

n+1

點(diǎn)評：當(dāng)題目中遇到求曲線C在點(diǎn)A（m，n）點(diǎn)的切線方程時(shí)，其處理步驟為：①判斷A點(diǎn)是否在C上②求出C對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)③求出過A點(diǎn)的切線的斜率④代入點(diǎn)斜式方程，求出直線的方程．