Question

已知0＜x＜

π

2

＜y＜π且sin（x+y）=

5

13

（Ⅰ）若tg

x

2

=

1

2

，分別求cosx及cosy的值；
（Ⅱ）試比較siny與sin（x+y）的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)x的范圍得到

x

2

的范圍，由tan

x

2

的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系即可求出cos

x

2

的值，進(jìn)而再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sin

x

2

的值，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，由sin

x

2

和cos

x

2

的值及x的范圍，即可求出sinx和cosx的值，再根據(jù)x與y的范圍得到x+y的范圍，由sin（x+y）的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出cos（x+y）的值，然后把y變?yōu)椋▁+y）-x，利用兩角差的余弦函數(shù)公式化簡后，將各自的值代入即可求出值；
（Ⅱ）由x與y的范圍求出x+y的范圍及x+y大于y，然后根據(jù)正弦函數(shù)在x+y的范圍中為減函數(shù)，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得到siny大于sin（x+y）．

解答：解：（Ⅰ）∵0＜x＜

π

2

＜y＜π，tan

x

2

=

1

2

，且0＜

x

2

＜

π

4

，
∴cos

x

2

=

2

5

，sin

x

2

=

1

5

，
則cosx=2cos²

x

2

-1=

3

5

，sinx=

4

5

，
又sin（x+y）=

5

13

，

π

2

＜x+y＜

3π

2

，
∴cos（x+y）=-

12

13

，
∴cosy=cos[（x+y）-x]
=cos（x+y）cosx+sin（x+y）sinx
=-

12

13

•

3

5

+

5

13

•

4

5

=-

16

65

；

（Ⅱ）∵0＜x＜

π

2

＜y＜π，
∴

π

2

＜x+y＜

3π

2

，

π

2

＜y＜x+y＜

3π

2

，
又y=sinx在[

π

2

，

3π

2

]上為減函數(shù)，
∴siny＞sin（x+y）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．