Question

已知函數(shù)
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若時(shí)，關(guān)于的方程有唯一解，求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，證明: 對(duì)一切，都有成立．

Answer 1

詳見解析

解析試題分析：（1）首先利用導(dǎo)數(shù)公式求出,然后討論是奇數(shù)還是偶數(shù)，化簡(jiǎn)函數(shù)，然后再定義域內(nèi)求導(dǎo)數(shù)大于0或是導(dǎo)數(shù)小于0的解集，確定單調(diào)區(qū)間；
（2）將唯一解問題轉(zhuǎn)化為在定義域內(nèi)和x軸有唯一交點(diǎn)問題，求在定義域內(nèi)，導(dǎo)數(shù)為0的值有一個(gè)，分析函數(shù)是先減后增，所以如果有一個(gè)交點(diǎn)，那么函數(shù)在定義域內(nèi)的極小值等于0，即可；
（3）轉(zhuǎn)化為左邊函數(shù)的最小值大于有邊函數(shù)的最大值，要對(duì)兩邊函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.
試題解析：解：（1）由已知得x＞0且．
當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，，則f(x)在(0,+)上是增函數(shù);
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，則．
所以當(dāng)x時(shí)，，當(dāng)x時(shí)，．
故當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，f (x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．    4分
（2）若，則．
記 ,
若方程f(x)=2ax有唯一解，即g(x)=0有唯一解；   令,得．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ca/8/10epi3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以（舍去），． 當(dāng)時(shí)，，在是單調(diào)遞減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)遞增函數(shù)．
當(dāng)x=x₂時(shí), ，．   因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a9/7/popkp.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一解，所以．
則 即  設(shè)函數(shù)，
因?yàn)樵趚>0時(shí)，h (x)是增函數(shù)，所以h (x) = 0至多有一解．
因?yàn)閔 (1) = 0，所以方程(*)的解為x ₂ = 1，從而解得    10分
另解:即有唯一解,所以:,令,則,設(shè)，顯然是增函數(shù)且，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是時(shí)有唯一的最小值，所以，綜上：．
（3）當(dāng)時(shí)， 問題等價(jià)證明
由導(dǎo)數(shù)可求的最小值是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，
設(shè)，則，
易得，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取到，
從而對(duì)一切