Question

如圖，已知橢圓E：（a＞b＞0），焦點(diǎn)為F₁、F₂，雙曲線G：x²-y²=m（m＞0）的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P是雙曲線G上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁、PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D，已知三角形ABF₂的周長(zhǎng)等于，橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為．
（1）求橢圓E與雙曲線G的方程；
（2）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁和k₂，探求k₁和k₂的關(guān)系；
（3）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，試求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角形ABF₂的周長(zhǎng)等于，橢圓四個(gè)頂點(diǎn)組成的菱形的面積為可求出a，b的值，再利用雙曲線G：x²-y²=m（m＞0）的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)進(jìn)而可求出m的值．
（2）可利用斜率公式k=表示出k₁，k₂再探求k₁和k₂的關(guān)系，關(guān)系無(wú)非就是和，差，積，商．
（3）牽涉到|AB|，|CD|，|AB|，|CD|需用到弦長(zhǎng)公式，因而需要聯(lián)立方程，故需要把直線AB的方程設(shè)出來(lái)聯(lián)立方程代入計(jì)算即可．
解答：解：（1）由題意知，橢圓中
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
又頂點(diǎn)與焦點(diǎn)重合，所以m=c²=a²-b²=4；
所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），x≠±2
P在雙曲線上，所以y²=x²-4所以k₁•k₂=1
（3）設(shè)直線AB：y=k₁（x+2）k₁≠0
由方程組得（2k₁²+1）x²+8k₁²x+8k₁²-8=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以
由弦長(zhǎng)公式
同理
由代入得
所以存在使得|AB|+|CD|=λ|AB|CD|成立．
點(diǎn)評(píng)：此題第一問(wèn)較簡(jiǎn)單屬基礎(chǔ)，第二問(wèn)較復(fù)雜，一般情況下的關(guān)系無(wú)非就是和，差，積，商，關(guān)鍵是P在雙曲線上，所以y²=x²-4然后代入計(jì)算．第三問(wèn)是平常較常見(jiàn)的類型，主要是計(jì)算繁瑣，只要計(jì)算不出錯(cuò)都可以達(dá)到目的．