Question

已知橢圓過點,離心率為.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點且斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點，直線、分別交直線 于、兩點,線段的中點為.記直線的斜率為，求證: 為定值.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)條件可得以下方程組: ，解這個方程組求出、的值便得橢圓的方程；（Ⅱ）將用表示出來，這樣就是一個只含的式子，將該式化簡即可.那么如何用來表示？
設(shè)，.因為A（2，0），所以直線的方程分別為：.
令得：所以的中點為：
由此得直線的斜率為：

       ①

再設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程得:
設(shè)，，則由韋達定理得:代入①式，便可將用
表示出來，從而得到的值.
試題解析：（Ⅰ）由題設(shè): ，解之得,所以橢圓的方程為  4分
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為代入橢圓方程得:
設(shè)，，則由韋達定理得:
直線的方程分別為：

令,得：所以


              13分
考點：1、橢圓及其方程；2、直線的方程；3、中點坐標公式；4、根與系數(shù)的關(guān)系.