Question

 (12分) 設(shè)橢圓E：（a > b > 0）過M（2，），N（，1）兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

(1) 求橢圓E的方程；

(2) 是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，且?若存在，寫出該圓的方程，并求取值范圍；若不存在，說明理由．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解法一：(1) 橢圓E過M、N

∴    ∴    ∴ 橢圓E： 5分

        (2) 假設(shè)存在這樣的圓，設(shè)該圓的切線為，由  

∴

當(dāng)

，要使

∴    ∴

∴    ∴

又    ∴   ∴   ∴

又與圓心在原點(diǎn)的圓相切

∴ ，即，

∴ 所求圓：

當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線為，與橢圓交于（，）

或（，），滿足

綜上：存在這樣的圓滿足條件    9分

∵

當(dāng)時(shí)，

∴ （當(dāng)時(shí)取等）

當(dāng)k = 0時(shí)，

當(dāng)k不存時(shí)，

∴    12分

解法二：設(shè)A（x₁，y₁），證明的直線方程為y = kx（k存在）

由   ∴

同理可以算出：

時(shí)，

∴

 

  解法三：過O作AB的垂線OT，垂足為T

顯然T在以O為圓心，為半徑的圓上

∴ 所求圓的方程為

 

當(dāng)時(shí)，

∴