Question

某地有三個村莊，分別位于等腰直角三角形ABC的三個頂點處，已知AB=AC=6km，現計劃在BC邊的高AO上一點P處建造一個變電站．記P到三個村莊的距離之和為y．
（1）設∠PBO=α，把y表示成α的函數關系式；
（2）變電站建于何處時，它到三個小區(qū)的距離之和最小？

Answer 1

【答案】分析：（1）解實際應用題的關鍵是讀懂題意，根據所給的條件知在三角形中表示出點到三個村莊的距離，表示出函數y的關系式．
（2）由題意知本題是一個求函數最小值的問題，這種類型的函數唯一的處理方式是通過導數來解題，對函數式求導，令導函數等于零，驗證導函數等于零的左右兩邊導數的符合，得到最小值．
解答：解：（1）∵在Rt△AOB中，AB=6，
∴OB=OA=．
∴由題意知．
∴點P到A、B、C的距離之和為
．
∴所求函數關系式為．

（2）由（1）得，
令y′=0即，
又，從而
當時，y′＜0；當時，y′＞0．
∴當時，取得最小值，
此時（km），即點P在OA上距O點km處．
即變電站建于距O點km處時，它到三個小區(qū)的距離之和最小．
點評：本題是一個三角函數同函數結合的問題，解題過程中用到三角函數和函數的思想，是一個中檔題目，高考時出上此題，不易得分，解題的關鍵是運算，要過運算這一關．