Question

在△ABC中，已知內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且a²+b²=c²+ab．
（1）若，且c=2，求△ABC的面積；
（2）已知向量=（sinA，cosA），=（cosB，-sinB），求||的取值范圍．

Answer 1

解析：（1）在△ABC中，∵a²+b²=c²+ab，即c²=a²+b²-ab，
∴cosC==，結(jié)合C∈（0，π）得C=
又∵，可得，
∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∴A=B或
當(dāng)時(shí)，與C=矛盾，故A=B，可得△ABC是等邊三角形．
∵c=2，∴△ABC的面積…（6分）
（2）∵向量=（sinA，cosA），=（cosB，-），
∴=1，=1，•=sinAcosB-cosAsinB=sin（A-B）
因此，
∵A+B=，得A=-B
∴=
∵B∈（0，），得-2B∈（-，）…（10分）
∴當(dāng)-2B=-時(shí)，有最小值-1，此時(shí)有最大值9；
當(dāng)-2B=時(shí)，有最大值1，此時(shí)有最小值1．
可得，開(kāi)方得
故||的取值范圍[1，3]． …（12分）
分析：（1）根據(jù)余弦定理結(jié)合題中平方關(guān)系的等式，算出cosC=，從而得出C=．再由正弦定理結(jié)合題中比例式，化簡(jiǎn)可得sin2A=sin2B，因此△ABC是等邊三角形，不難得出△ABC的面積．
（2）首先計(jì)算==1，且•=sin（A-B），代入表達(dá)式并化簡(jiǎn)，得=，根據(jù)角B的取值范圍結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得，兩邊開(kāi)方即得||的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道三角函數(shù)綜合題，著重考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模的公式，以及運(yùn)用正余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．