Question

【題目】如圖，在五面體中，側(cè)面是正方形，是等腰直角三角形，點(diǎn)是正方形對(duì)角線的交點(diǎn)，且．

（1）證明：平面．

（2）若側(cè)面與底面垂直，求五面體的體積

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）45

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接，證明四邊形是平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可證明；

（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，將該五面體分成三棱柱和四棱錐的體積和，即可得出該五面體的體積.

（1）證明：取的中點(diǎn)，連接

如圖所示，因?yàn)?/span>，且

又側(cè)面是正方形，且

所以，且；

所以四邊形是平行四邊形，所以；

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面；

（2）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接．則幾何體為三棱柱；

因?yàn)閭?cè)面與底面垂直，且，所以底面；

由題意知，

所以三棱柱的體積為；

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，

所以

又側(cè)面與底面垂直，所以平面，所以平面；

又，則四棱錐的體積為

即五面體的體積為．